Question

.数列满足：，且

（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；

（3）设，为数列的前项和，证明.

Answer

(1) 见解析； (2)   ；    (3)证明:见解析。

【解析】(1) 由,

从而证明是等差数列.

(2)在（1）的基础上，可先求出的通项公式，再根据求出的通项公式.

（3）先求出

下面解题的关键是确定,

然后再考虑数学归纳法进行证明即可.

(1) ,

为等差数列                   

(2)由(1),从而     

(3)

,当时,,不等式的左边=7,不等式成立

高考资源网版权所有当时,                      

故只要证,           

如下用数学归纳法给予证明:

①当时,,时,不等式成立;

②假设当时,成立

当时,

只需证: ,即证:     

令,则不等式可化为:

即

令,则

在上是减函数

又在上连续, ,故

当时,有

当时,所证不等式对的一切自然数均成立

综上所述,成立.