Question

设a为实数, 函数f（x）＝x³－x²－x＋a．

（1）求f（x）的极值;

（2）若曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 求a的取值范围．

Answer

（1）f（x）的极大值是f（）＝,极小值是f（1）＝a－1．

（2）当时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为a为实数, 函数f（x）＝x3－x2－x＋a．求解导数，结合导数的符号判定单调性得到

f（x）的极值;

（2）因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 由此可知x取足够大的正数时有f（x）>0, x取足够小的负数时有f（x）<0．

所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点，结合导数的思想判定得到。

（1）＝3x2－2x－1．若＝0,则x＝－或x＝1      ………… 2分

当x变化时，、f（x）的变化情况如下表:

1

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

                                                          …………4分

  所以f（x）的极大值是f（）＝,极小值是f（1）＝a－1．………… 6分

（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1．

由此可知x取足够大的正数时有f（x）>0, x取足够小的负数时有f（x）<0．

所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点．                   …………8分

结合f（x）的单调性可知,

当f（x）的极大值<0,即a时，它的极小值也小于0．

因此曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点,它在（1,＋）上．

当f（x）的极小值a－1>0,即a时，它的极大值也大于0．

因此曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点,它在（）上．

所以当时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．…… 12分