Question

设a为实数，记函数的最大值为.

 （1）设，求t的取值范围，并把表示为t的函数；

 （2）求；

 （3）试求:满足的所有实数．

Answer

1），。

   （2）=．

（3）满足的所有实数a为：或．

【解析】本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力

（I）先求定义域，再求值域．由转化．

（II）求g（a）即即为函数，的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行．

（III）要求满足的所有实数a，则必须应用g（a）的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解．

【解析】
1）∵，∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①   

∴的取值范围是。

由①得：，

∴，。

   （2）由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

2）当时，，，有=2；

3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，．

综上所述，有=．

（3）当时，；

当时，，，∴，

，故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，。

综上所述，满足的所有实数a为：或．