Question

已知数列中,,其前项和满足:,令

.

 (1) 求数列的通项公式；

 (2) 若,求证:;

(3) 令,问是否存在正实数同时满足下列两个条件?

①对任意,都有；

②对任意的,均存在,使得当时总有.

 若存在,求出所有的; 若不存在,请说明理由.

Answer

 (1) .   (2)略    (3)存在正实数符合题意.

【解析】本试题主要是考查了数列的求和和数列的通项公式的运用，不等式的证明。

（1）由得

  即,移项得,

  ∴,这个等式叠加可得

可得结论，

（2）由(1)知,

  又, ∴故相加得证。

（3）当时,

  ,

  ∴.

  由2)知,即,  而此时，可见存在实数a=2满足题意