Question

已知（m为常数，m>0且m≠1）．

 设（n∈^）是首项为m²，公比为m的等比数列．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，且数列的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；

Answer

（1）见解析（2）2n＋2·n

【解析】本题考查数列的定义的应用，错位相减法，数列与函数相结合，恒成立问题的综合应用，考查分析问题解决问题，转化思想的应用，知识面广，运算量大．

（1）利用f （x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．代入an，求出an的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{an}是等差数列；

（2）通过bn=an f （an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=2时，求出Sn的表达式，利用错位相减法求出Sn；

【解析】
（1）由题意f（an）＝，即．

∴an＝n＋1，（2分）       ∴an＋1－an＝1，

∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．

（2）由题意＝（n＋1）·mn+1，

当m＝2时，bn＝（n＋1）·2n＋1

∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n＋1）·2n＋1 ①

①式两端同乘以2，得

2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋（n＋1）·2n＋2 ②

②－①并整理，得

Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）·2n＋2

＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）·2n＋2

＝－22－＋（n＋1）·2n＋2

＝－22＋22（1－2n）＋（n＋1）·2n＋2＝2n＋2·n．