Question

某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．

（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；  

（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额的分布列和数学期望，并以此测算至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）120元

【解析】本题考查古典概型以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法．

（1）求互斥事件的概率一般有两种方法，直接法和间接法，本小题用用间接法比较简便．事件“至少有一种是日用商品”的对立事件是“商品中没有日用商品”， 即运用逆向思维

（2）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可．

【解析】
（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则

（法一）．（法二）．

即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．  …………5分

答：选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．

（II）设顾客抽奖的中奖中奖奖金总额为，则=，于是

， ，

，，∴ 顾客中奖次数的数学期望．………10分

设商场将每次中奖的奖金数额定为元，则≤180，解得x≤120，

即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．………12分

答：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．