Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）设PM=t MC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°，试确定t的值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．

（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．

法二：由AD∥BC，BC=

AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．

【解析】
（I）方法一∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．    

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．又

∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．   ……………………6分

方法二：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，  ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分

（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，

，．

设，则，，

∵，

∴ ，  

∴   ………………9分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．       

∵二面角M-BQ-C为30°，，

∴ ．       …………………………12分