Question

如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面PBD；

 （Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的证明，以及二面角的问题的综合运用。

（1）要证平面PBD，关键是证明线线垂直，得到结论。

（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，然后借助于向量的夹角来得到二面角的平面角的大小。

【解析】
(Ⅰ)易知为的中点，则，又，

又，平面，

所以平面

(Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则,，，

易知平面的法向量为

，

设平面的法向量为

则由得，

解得，，令，则

则

解得，，即，即，

又，∴，故.

方法二：作，连接，

由(Ⅰ)知平面，又平面，

∴，又，平面，

∴平面，又平面，∴，

∴即为二面角的平面角

作于，由平面及平面知，

又，平面，所以平面

所以即为直线与平面所成的角，即

在中，，

由=知，，

则，又，所以，故.