Question

在数列中，、，且.

(Ⅰ) 求、，猜想的表达式，并加以证明；

(Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有.

Answer

(Ⅰ) ，。证明见解析 (Ⅱ)见解析

【解析】本试题主要是考查了归纳猜想的思想的运用，以及运用数学归纳法证明与自然数相关的命题的综合运用。

（1）对于n令值然后分析得到前几项的值。

（2）归纳猜想其通项公式，然后运用数学归纳法加以证明即可。

【解析】
（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：

（i） 显然当时，结论成立，-----------------（3分）

（ii） 假设当；时（也可以），结论也成立，即

，--------------------------（4分）

那么当时，由题设与归纳假设可知：

------------（6分）

即当时，结论也成立，综上，对,成立。--------（7分）

（2）---（9分）

所以

---------（11分）

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有-------（14分）