Question

已知一动圆P（圆心为P）经过定点，并且与定圆：（圆心为C）相切.

（1）求动圆圆心P的轨迹方程；

（2）若斜率为k的直线经过圆的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）动圆圆心P的轨迹方程为.

（2）存在常数，使得.

【解析】（1）设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，所以|PC|=4-r．所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=，由此能够求出动圆圆心P的轨迹方程．

（2）假设存在常数k，使得，即

 ，所以M为ＡＢ的中点.圆方程可化为，所以由与方程联立，消y后得到关于x的一元二次方程.因为点M（1,1）在椭圆的内部，所以恒有,,由此能够推导出存在常数，使得.