Question

(本小题满分16分)

已知，其中是自然常数，

 (1)讨论时, 的单调性、极值；

 (2)求证：在（1）的条件下，；

 (3)是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

Answer

（1）的极小值为；

（2），当时，；

（3） 。

【解析】(I)当a=1时,f(x)的解析式确定,然后利用导数研究其单调性、极值即可.

(2)在(1)条件下,可确定出的最小值,然后再利用导数研究的最大值即可.只需证明即可.

(3)先假设存在实数，使有最小值3，,

然后求出f(x)的导数,利用其导数研究其最小值,根据最小值等于3,求a,看a值是否存在.

（1）    ------------2分

当时，，此时为单调递减

当时，，此时为单调递增

的极小值为--------------------------4分

（2）的极小值，即在的最小值为1

    令

又    ------------------------6分

当时

在上单调递减

 ---------------7分

当时，------------------------------8分

（3）假设存在实数，使有最小值3，

①当时，由于，则

函数是上的增函数

解得（舍去） ---------------------------------12分

②当时，则当时，

此时是减函数

当时，，此时是增函数

解得 ---------------------------------16分