Question

在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ），存在M

【解析】(I) 由⊙Q过M、F、O三点可知，Q一定在线段FO的中垂线上,据此可得,从而可得,解出p值，得到抛物线的方程.

（II）先假设存在点M(),,可求出切线MQ的方程，然后求出Q(),根据可得关于x0的方程，解出x0的值，从而确定存在M值，并求出点M的坐标.

【解析】
（Ⅰ）由⊙Q过M、F、O三点可知，Q一定在线段FO的中垂线上，所以

（Ⅱ）设存在点M(),    切线MQ：，令     所以Q()，由可得

解方程得，存在M