Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设.如果对任意，，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）在单调增加，在单调减少

（Ⅱ）（-∞，-].

【解析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+2x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．

【解析】
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .

当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；

当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；

当-1＜＜0时，令=0，解得.

则当时，＞0；时，＜0.

故在单调增加，在单调减少.

（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而

，

等价于

，           ①

令，则

①等价于在（0，+∞）单调减少，即

从而，令，，则

故a的取值范围为（-∞，-].