Question

已知函数．

(1)求函数的单调区间，并指出其增减性；

(2)若关于x的方程至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer

(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．

 (2) a∈[－1，－]

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性以及函数与方程的综合运用。

（1）根据已知函数去掉绝对值符号，结合二次函数来分析单调性。

（2）作函数y=|x2-4x+3|的图象， 由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象至少有三个不相等的实数根，即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0至少有三个不相等的实数根，因此得到a的范围。．

f(x)＝

(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，

递减区间为(－∞，1)，[2,3)．

(2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象(如上图)

则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；

当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，

由得x2－3x＋a＋3＝0.

由Δ＝9－4(3＋a)＝0. 得a＝－.

由图象知当a∈[－1，－]时，方程至少有三个不等实根．