Question

(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）。

【解析】(I)本小题的关键是证明,进而证明即可.

（2）在（1）的基础上，可以利用向量法求解.要分别求出二面角二个面的法向量，然后根据法向量的夹角与二面角相等或互补来解.

（Ⅰ）因为， 由余弦定理得 

从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD. 故 PABD………………  5分

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，

，，，．

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则

即 因此可取n=

设平面PBC的法向量为m，则

可取m=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值为… 12分