Question

已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，    

为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．

(1)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值.

(2)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．

Answer

(1) 的最小值为 (2) 的取值范围为

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解借助于椭圆的定义得到结论。然后结合向量的关系式得到坐标关系，然后利用，得到范围。

（1）由题意得，∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆，进而得到结论。而曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

，那么利用图像法得到最值。

（2）设，由得：，

化简得，即 ，

而 

∵点在圆内，∴，得到不等式，然后求解得到。

【解析】
(1)由题意得，∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆. ………………………3分

设椭圆方程为 ，

则，

∴点的轨迹方程为 ………………5分

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

而轨迹E：为焦点在y轴上的椭圆短轴上的顶点为结合它们的图像知：

若曲线被轨迹E包围着，则，

∴的最小值为 。………………………8分

(2)设，由得：，

化简得，即 ，

而 …………10分

∵点在圆内，∴

∴，

∴，

∴的取值范围为．……………1２分