Question

已知f(x)＝x³＋x(x∈R)，

(1)判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明；

(2)求证：满足f(x)＝a(a为常数)的实数x至多只有一个．

Answer

(1) f(x)＝x3＋x在R上是增函数

(2)见解析

【解析】(1)【解析】
f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x1＜x2，即x1－x2＜0.

∴f(x1)－f(x2)＝(＋x1)－(＋x2)

＝(－)＋(x1－x2)

＝(x1－x2)( ＋x1x2＋＋1)

＝(x1－x2)[(x1＋)2＋＋1]＜0.

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

因此f(x)＝x3＋x在R上是增函数．

(2)证明：假设x1＜x2且f(x1)＝f(x2)＝a，由f(x)在R上递增，

∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)矛盾．

∴原命题正确．