Question

（本题满分12分）如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求直线和平面所成角的正弦值.

Answer

(1)见解析；       (2)见解析；         (3)

【解析】方法一：

(1) 证法一：取的中点，连.

∵为的中点，∴且. …………1分

∵平面，平面，

∴，∴.                    …………2分

又，∴.                  …………3分

∴四边形为平行四边形，则.    …………4分

∵平面，平面，

∴平面.                          …………5分

证法二：取的中点，连.

∵为的中点，∴.                     …………1分

∵平面，平面，∴.             …………2分

又，

∴四边形为平行四边形，则.                …………3分

∵平面，平面，

∴平面，平面.

又，∴平面平面.             …………4分

∵平面，

∴平面.                      …………5分

(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴.      …………6分

∵平面，平面，∴.           …………7分

又，故平面.                   …………8分

∵，∴平面.                       …………9分

∵平面，

∴平面平面.                 …………10分(3)

【解析】
在平面内，过作于，连.

∵平面平面， ∴平面.

∴为和平面所成的角.                  …………12分

设，则，

，

R t△中，.

∴直线和平面所成角的正弦值为.…………14分

方法二：

设，建立如图所示的坐标系，则

.…………2分

∵为的中点，∴.                …………3分

(1) 证：，    …………4分

∵，平面，∴平面.  …………5分

(2) 证：∵，   …………6分

∴，∴.      …………8分

∴平面，又平面，

∴平面平面.                    …………10分

(3) 【解析】
设平面的法向量为，由可得：

，取.       …………12分

又，设和平面所成的角为，则

.

∴直线和平面所成角的正弦值为.             …………14分