Question

（本题满分13分）如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′—EC—B是直二面角.

（1）证明：BE⊥C D′；

（2）求二面角D′—BC—E的正切值.

Answer

（1）见解析；      （2）

【解析】【解析】
（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC.

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC,

∴BE⊥面D′EC，又C D′Ì 面D′EC ,  ∴BE⊥CD′；

（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC.

∵平面D′EC⊥平面BEC,

∴D′M⊥平面EBC,

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：

D′F⊥BC

∴∠D′FM是二面D′—BC—E的平面角.

在Rt△D′MF中，D′M=EC=，MF=AB=

∴

即二面角D′—BC—E的正切值为.

法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系.

则B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，）

设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

Þ tan= ∴二面角D′—BC—E的正切值为.