Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

 （Ⅰ）求证：直线BC₁//平面AB₁D；

 （Ⅱ）求二面角B₁—AD—B的大小；

 （Ⅲ）求三棱锥C₁—ABB₁的体积.

Answer

（Ⅰ）见解析；         （Ⅱ）60°；          （Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形，

∴BC1//DB1.

又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.

（Ⅱ）【解析】
过B作BE⊥AD于E，连结EB1，

∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，

∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，

∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中点，

在Rt△B1BE中，

∴∠B1EB=60°．

即二面角B1—AD—B的大小为60°

（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=  ∴

即三棱锥C1—ABB1的体积为

解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，

即三棱锥C1—ABB1的体积为