Question

如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A— DEF  ．

(I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值

(Ⅱ)设点M、N分别在AD、EF上， (λ＞O，λ为变量)

①当λ为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明你的结论②设异面直线MN与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为β，试求a+β 的值

Answer

(I) ；

 (Ⅱ) ①λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段

②

【解析】（Ⅰ）如图，取DE的中点G，连接AG、FG 

由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，

∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角 

由题意得AG=FG=．在△AGF中，

∴平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为

（Ⅱ）（1）λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段    

当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，

则由题意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF 

∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段．

（2）过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 ．

由MH∥DF，得  ，∴     

∴HN//AE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 ．

∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN  

由题意得，三棱锤A—DEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O．

∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF，  ∴AE⊥DF

又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH= ，∴