Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：PB⊥AC;

 (Ⅱ) 当PD=2AB,E在何位置时， PB平面EAC;

(Ⅲ) 在（Ⅰ）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），PB平面EAC;

（Ⅲ）二面角E-AC-B的余弦值为.

【解析】本试题主要是考查了线线垂直的判定和线面垂直求解以及二面角的平面角的综合运用。

（1）以D为原点DA、DC、DZ分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系，求解点的坐标，进而求解向量的坐标，得到垂直关系的证明。

（2）利用直线的方向向量与平面的法向量来分析如果平行，则说明线面垂直。

（3）借助于平面的法向量与法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小。

解 以D为原点DA、DC、DZ分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系 设    

      则，

（Ⅰ）∵ =,=

∴==0

∴AC⊥PＣ

（Ⅱ）当ＰＤ＝２ＡＢ时，，

 由（Ⅰ）知⊥，故只要即可

 设,，则

，∴

∴

由得=0

∴

所以，PB平面EAC;

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设,则

 ， 

∴等于二面E-AC-B的平面角

∴，

∴

∴二面角E-AC-B的余弦值为