Question

设函数，其中

（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（2）求的极值点；

（3）证明对任意的正整数，不等式都成立。

Answer

（1）单调递增（2）无极值（3）见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）利用函数的导数得到导数符号与单调性的关系的运用。

（2）在第一问的基础上分析得到极值点。

（3）对于不等式恒成立的证明，主要是转化为函数的最值问题来处理的数学思想的运用。

【解析】
（1）由题意知，，），

设，其图象的对称轴为，，

所以

即，上恒成立，

，时，，

，上单调递增。

（2）①由（1）得，函数无极值点；

②时， 有两个相同的解，

，，；，时，，

，上无极值；

③时，：

，      

，，，

：

，

，

－

0

+

减

极小值

增

由此表可知：，有唯一极小值点；

当时，，所以，，

此时，：

，

（，）

，

+

0

－

0

+

增

极大植

减

极小值

增

由此表可知：时，有一个极大值点和一个

极小值点

综上所述，：，有唯一极小值点； 时，有一个极大值点和一个极小值点；，无极值点。

（3）设，1〕，则不等式化为，

即

设函数，则

所以，当时，函数在〔0，1〕上单调递增，又

，1〕时，恒有，即，

因此不等式成立