Question

已知函数f(x)＝log₄(2x＋3－x²)．

(1)求f(x)的定义域；

(2) 求f(x)的单调区间．

Answer

(1) {x|－1＜x＜3}

(2) 该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)

【解析】本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解，求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑．

（1）由题意可得2x+3-x2＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域

（2）要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=2x+3-x2在定义域内的单调区间即可

解 (1)令u＝2x＋3－x2，则u＞0，可得函数定义域是：{x|－1＜x＜3}．…5分

(2) y＝log4u．由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4.

再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1]，减区间是[1，3)．  ……7分

又y＝log4u为(0，＋∞)上的增函数，                       ……8分

故该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)．     ……10分