Question

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer

(1) 见解析(2) 见解析

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．

（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；

（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，从而得到证明。

证明：(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，

故在△CPA中，EF∥PA，                 ……3分

又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD．                       ……6分

(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．                           ……8分

又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD．

又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD．

又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．   ……12分