Question

设函数f(x)＝4x³＋ax²＋bx＋5在x＝与x＝－1时有极值.

(1)写出函数的解析式；

(2)指出函数的单调区间；

(3)求f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．

Answer

(1) f(x)＝ 4x3－3x2－18x＋5

(2) (－1，)

(3) f(x)在[－1，2]上的最小值是－,最大值为16.

【解析】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．

（1）首先求出函数的导数，然后f′（-1）=0，f′（）=0，解出a、b的值，进而求出解析式

（2）f′（x）＜0，求出函数的单调区间；

（3）由（1）求出端点处函数值，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

【解析】
(1) f ¢(x)＝12x2＋2ax＋b.由题设知x ＝ 与x ＝－1时函数有极值．

则x ＝ 与x ＝－1满足f ¢(x)＝0．

解得a ＝－3，b ＝－18．  ∴f(x)＝ 4x3－3x2－18x＋5．  ……4分

(2)f ¢(x)＝12x2－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，

令f ¢(x)＞0得：(－∞，－1)和(，＋∞)均为函数的单调递增区间；

(－1，)为函数的单调递减区间．  ……8分

(3)极值点（－1, ） 均属于[－1，2]，

又∵f(－1)＝16,  f(2)＝－11,  f()＝－ ,      ……10分

故f(x)在[－1，2]上的最小值是－,最大值为16.  ……12分

注：其它解法可酌情给分.