Question

已知函数

（1）证明：函数f(x)是奇函数.

（2）证明：对于任意的非零实数恒有x f(x)<0成立.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】本试题主要害死考查了函数的奇偶性和不等式的恒成立问题的运用。

（1）先根据定义域和函数f(x)和f(-x)的关系式可知。

（2）证明：令x f(x)由(1)易知函数g(x)为偶函数，

当x＞0时，由指数函数的单调性可知：，，，故x＞0时有x f(x)<0从而得到。

析：(1) ……….    2分

………. 4分

又函数f(x)的定义域为R，故函数f(x)为奇函数. ………. 5分

(2)证明：令x f(x)由(1)易知函数g(x)为偶函数，……….  6分

当x＞0时，由指数函数的单调性可知：………. 7分

，，故x＞0时有x f(x)<0. …8分

又x f(x)是偶函数，当x＜0时，－x＞0，∴当x＜0时g(x)＝g(－x)<0，即对于x≠0的任何实数x，均有x f(x)<0. ………. 10分