Question

已知二次函数（其中）

（1）试讨论函数的奇偶性.

（2）当为偶函数时，若函数，

试证明：函数在上单调递减，在上单调递增；

Answer

（1）函数是非奇非偶函数

（2）见解析

【解析】本试题主要是考查了二次函数的性质，以及函数奇偶性和单调性的综合运用。

（1）函数的定义域为R关于原点对称，………  故此时函数是偶函数

 ,故函数不是奇函数,且易知此时故函数也不是偶函数,所以函数是非奇非偶函数

（2）为偶函数，由（1）知利用定义法判定单调性。

【解析】
(1) 函数的定义域为R关于原点对称，……….  1分

 故此时函数是偶函数……….2分

 ,故函数不是奇函数,且易知此时故函数也不是偶函数,所以函数是非奇非偶函数……….4分

（其他合理方式解答相应给分）

（2）为偶函数，由（1）知……….5分

，则……….7分

=……………9分

,则<0   

 , 在上单调递减, ……….11分

,则>0  

<0 , 在上单调递增, ……….13分