Question

已知函数，且定义域为（0，2）.

(1）求关于x的方程+3在（0，2）上的解；

（2）若是定义域(0，2)上的单调函数，求实数的取值范围；

（3）若关于x的方程在（0，2）上有两个不同的解，求k的取值范围。

Answer

(1）（2）（3）

【解析】本试题主要是考查了函数与方程的思想的综合运用。

（1）,+3即，对于定义域分段讨论得到解的情况。

（2）因为是定义域(0，2)上的单调函数，结合函数与图像的关系式得到结论。

（3）关于x的方程在（0，2）上有两个不同的解，那么借助于图像得到结论。

解（1）,+3即

当时，，此时该方程无解. ……1分

当时，，原方程等价于：此时该方程的解为.

综上可知：方程+3在（0，2）上的解为.……3分

（2），

………4分

，…………5分

可得：若是单调递增函数，则  …6分 

若是单调递减函数，则，………7分

综上可知：是单调函数时的取值范围为.…8分

（2）[解法一]：当时，，①

当时，，②

若k=0则①无解，②的解为故不合题意。…………9分

若则①的解为，

（Ⅰ）当时，时，方程②中

故方程②中一根在（1，2）内另一根不在（1，2）内，…………10分

设，而则   又，故，………11分

（Ⅱ）当时，即或0时，方程②在（1，2）须有两个不同解，12分

而，知方程②必有负根，不合题意。……13分

综上所述，………14分

 [略解法二]，………9分

   ,………10分

分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图象法做，必须画出草图，再用必要文字说明）……………13分

利用该分段函数的图象得……………………14分