Question

已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．

（1）求的解析表达式；

（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．

Answer

（1）（2）

【解析】本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，求导的能力、运算的能力、问题转换的能力以及数形结合的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．

（1）可以现设出二次函数的表达式，结合信息获得多项式相等进而利用对应系数相等解得参数，即可明确函数解析式；

（2）结合函数的解析式通过求导很容易求的在点P（t，f（t））处的切线l，由此即可表示出三角形的面积关于t的函数S（t）．从而利用导函数知识即可求得函数S（t）的最小值

【解析】
（Ⅰ）设（其中），则，     ………1分

．

由已知，得，

∴，解之，得，，，∴．  ……4分

（2）由（1）得，，切线的斜率，

∴切线的方程为，即．    …………6分

从而与轴的交点为，与轴的交点为，

∴（其中）．                          ………8分

∴．                  ……………10分

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．                  ……12分

∴．                         …………13分