Question

（本小题满分14分）

如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.

（1）写出体积V关于的函数关系式；

（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

Answer

（1）

其中.（7分）

（2）当时，V有最大值.

【解析】  (1) 连结OB，∵，∴，设圆柱底面半径为，则，可得，所以,

(2)利用导数求V的最大值即可.

（1）连结OB，∵，∴，

设圆柱底面半径为，则，

即，

所以

其中.（7分）

（2）由，得

因此在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数.

所以当时，V有最大值.（14分）