Question

 （本小题满分16分）

已知函数的定义域为（0，），且，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别为M、N.

（1）求的值；

（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；

（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

Answer

（1）a= ；（2）PM·PN=1. （3）四边形OMPN面积的最小值.

【解析】  (1)由f(2)=2+直接建立关于a的方程,解出a值.

(II) 设,则PM==，PN=,显然.

(III)设，则直线PM：y- =- ,

再与y=x联立,可解出M（，）,根据建立关于x0­的函数,然后再考虑采用均值不等式求最值.

（1）∵f(2)=2+,∴2+=2+,

∴a=         (4分)

（2）设,则PM==，PN=,

∴PM·PN=1.          (8分)

（3）设，则直线PM：y- =-

由得M（，）

当且仅当，即时取等号，故四边形OMPN面积的最小值.（16分）