Question

 （本小题满分16分）

已知等差数列中，，令，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）是否存在正整数，且，使得，，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）.（2）.

（3）不存在正整数，且，使得，，成等比数列.

综上，存在正整数，且，使得，，成等比数列.（16分）

【解析】(1)由于为等差数列,并且,易求出的通项公式,(2)在(1)的基础上可得,则,再采用裂项求和的方示求和.

(3)先假设，，成等比数列,则,即,因为,所以下面讨论按m=2,3,4,5,6,和几种情况进行讨论求解.

数学II（附加题）

（1）设数列的公差为，由，.

解得，，∴.（4分）

（2）∵，，∴

∴

∴.（8分）

（3）由（2）知，，∴，，，

∵，，成等比数列，∴，即

当时，，，符合题意；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，则，而，

所以，此时不存在正整数，且，使得，，成等比数列.

综上，存在正整数，且，使得，，成等比数列.（16分）