Question

用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数。

（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。

Answer

（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数。

（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数

（Ⅲ）共有28个符合题意的五位数

【解析】本试题主要是考查了排列组合在实际生活中的运用。

（1）将所有的三位偶数分为两类，个位数是0，个位数是2，或者4.来讨论得到。

（2）将这些“凹数”分为三类：

若十位数字为0，则共有12（种）；若十位数字为1，则共有6（种）； 若十位数字为2，则共有2（种）

（3）将符合题意的五位数分为三类：

若两个奇数数字在一、三位置，则共有12（种）；

若两个奇数数字在二、四位置，则共有8（种）；

若两个奇数数字在三、五位置，则共有种得到结论。

【解析】
（Ⅰ）将所有的三位偶数分为两类：

（1）若个位数为0，则共有（种）；          1分

（2）若个位数为2或4，则共有（种）          2分

所以，共有30个符合题意的三位偶数。             3分

（Ⅱ）将这些“凹数”分为三类：

（1）若十位数字为0，则共有（种）；             4分

（2）若十位数字为1，则共有（种）；             5分

（3）若十位数字为2，则共有（种），

所以，共有20个符合题意的“凹数”          6分

（Ⅲ）将符合题意的五位数分为三类：

（1）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（种）；        7分

（2）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（种）；            8分

（3）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（种），

所以，共有28个符合题意的五位数。           9分