Question

（本题8分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，

PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】(I)取AD的中点E，连接NE，ME，易证：.

(II)找出（做）线面角是解题的关键.因为平面PAC平面ABCD，所以过N作NF⊥AC于F，连接MF .所以NF⊥平面PAC, ∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角.

（Ⅰ）取PD的中点E，连接ME, CE．

   ∵M, N分别为PA, BC的中点，

∴，，∴，

∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，……………2分

∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，

∴MN∥平面PCD．…………………………………2分

（Ⅱ）作NF⊥AC于F，连接MF．

  ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角．………2分

  在Rt△MFN中，，，，

，

∴．……………………………………………2分