Question

（本题10分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点，将△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角A－CD－M的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）cos∠MNO＝＝。

【解析】(I) 取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，因为平面ACD⊥平面ABC,所以DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC,可得易证：,从而可证出BC⊥平面ACD；

(II)找（或做）出二面角的平面角.取CD的中点N，连接MO, NO, MN，则MO∥BC，

∴MO⊥平面ACD，∴MO⊥CD，∵AD⊥CD，ON∥AD，∴ON⊥CD，又∵MO∩NO＝O，

∴CD⊥平面MON，∴CD⊥MN，∴∠MNO是所求二面角的平面角.

【解析】
（Ⅰ）取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，

   ∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，………2分

   在直角梯形ABCD中，连接CM，可得CM＝AD＝2，AC＝BC＝2，

   ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

   又∵DO∩AC＝O，∴BC⊥平面ACD；………………………………3分

（Ⅱ）取CD的中点N，连接MO, NO, MN，

则MO∥BC，∴MO⊥平面ACD，∴MO⊥CD，……………………1分

∵AD⊥CD，ON∥AD，∴ON⊥CD，又∵MO∩NO＝O，

∴CD⊥平面MON，∴CD⊥MN，∴∠MNO是所求二面角的平面角…2分

在Rt△MON中，MO＝＝，NO＝＝1，

∴MN＝＝，∴cos∠MNO＝＝………………2分