Question

如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设

PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．

（I）求证：；（Ⅱ）求证：平面MAP⊥平面SAC；

（ Ⅲ）求锐二面角M—AB—C的大小的余弦值；

Answer

（I）见解析（Ⅱ）见解析（ Ⅲ）

【解析】本试题主要是考查了空间中点线面的位置关系的综合运用。

（1）点P、M分别是SC和SB的中点  ∴

又∴

（2）建立空间直角坐标系C—xyz.，借助于法向量的垂直问题来证明面面的垂直。

（3）在第二问的基础上可知得到平面的法向量与法向量的夹角，得到二面角的平面角的大小。

【解析】
（I）∵点P、M分别是SC和SB的中点  ∴

又∴

（II）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°

∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，      …………………………….2分

又∵P，M是SC、SB的中点

∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，……………………………..5分

（II）如图以C为原点建立如图所示空间直角坐标系C—xyz.

则

    ………………………9分

设平面MAB的一个法向量为，则

由  取z=…………………..11分

取平面ABC的一个法向量为

则

故二面角M—AB—C的余弦值为…………………….13分