Question

定义，

（Ⅰ）令函数，过坐标原点O作曲线C：的切线，切点为P（n>0），设曲线C与及y轴围成图形的面积为S，求S的值。

（Ⅱ）令函数,讨论函数是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值。

（Ⅲ）证明：当

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）当时，有极小值，没有极大值（Ⅲ）见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及定积分的综合运用。

（1） ，

，，

曲线C与y轴交点为A（0，1）

又过坐标原点O向曲线C作切线，切点为P（n，t）（n>0），

，切线方程为

（2），。

，

那么对于参数a分类讨论得到单调性得到极值。

（3）令

又令 

两次构造函数结合导数得到结论。【解析】
（Ⅰ） ，

，，

曲线C与y轴交点为A（0，1）……………1分

又过坐标原点O向曲线C作切线，切点为P（n，t）（n>0），

，切线方程为…………3分

           ………………5分

（Ⅱ），。

    ………………6分

1）。当即时，（），

在单调递增从而没有极值；  ………………7分

2）。当即时，方程有二个不等实根

，， 

若，则，，

在单调递增从而没有极值；  ………………8分

若，则。当；当

当时，有极小值，没有极大值。  ………………9分

（Ⅲ）令，…………10分

又令 ，

单调递减.……………………11分

单调递减，………………12分

，

………………14分