Question

（本小题满分14分）已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求

的取值范围.

Answer

（Ⅰ），解得.   

（Ⅱ）的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（Ⅲ）综上所述，.  

【解析】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用。

（1）由函数求解导数，由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．

（2）根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．

（3）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．

【解析】
.  ………………2分

（Ⅰ），解得.                             ………3分

（Ⅱ）.                      ……5分

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.     ………6分

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.  …………7分

③当时，， 故的单调递增区间是.  ………8分

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   ………9分

（Ⅲ）由已知，在上有.               ………………10分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故. ……………11分

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，                        ………………13分

综上所述，.                                     ………………14分