Question

（14分）设函数，其中.

(Ⅰ)若，求在上的最小值；

（Ⅱ）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

Answer

（Ⅰ） ；

（Ⅲ）存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）由题意知，的定义域为，b=-12时，由，得x=2(x=-3舍去)，当时，，  当时，得到单调性，求解最值。

（2）由题意可知在给定区间上有两个不等的实根，因此借助于二次函数解得。

（3）构造该函数，结合导数判定单调性，然后得到不等式的证明。

【解析】
（Ⅰ）由题意知，的定义域为，b=-12时，由，得x=2(x=-3舍去)，当时，，  当时，，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以；    ……………5分

（Ⅲ），则，

，所以函数在上单调递增，

又时，恒有，

显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.………14分