Question

已知集合的元素全为实数，且满足：若，则。

（1）若，求出中其它所有元素；

（2）0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？

（3）根据（1）（2），你能得出什么结论。

Answer

（1）中元素为（2）（3）A中的元素为4的倍数

【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若a∈A，则

∈A，将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使

三式均有意义时，对a的限制，而不能得到满分．

（1）由已知中若a∈A，则 ∈A，由a=2∈A，可得 ，再由

2∈A，进而得到A中的所有元素；

（2）根据已知中若a∈A，则 ∈A，令0∈A，可得-1∈A，根据此时

中分母为0，式子无意义，即可得到结论；

（3）根据已知中若a∈A，则 ∈A，结合（1）的结论可得 ∈A，而根据（2）的结论，可得要使 三式,均有意义，应有a≠0，a≠±1

【解析】
(1)由，则，又由，得,再由

得，而，得，故中元素为．… 4分

(2) 不是的元素．若，则，而当时，不存在，故0不是的元素．取，可得．……………… 8分

(3) 猜想：①中没有元素；②已知A中的一个元素可得其余3个，且每两个互为负倒数．③A中元素个数为4的倍数。………10分

①由上题知：．若，则无解．故……12分

②设，则，

且．

显然．若，则，得：无实数解．

同理，．

故四个互不相等的数．

故A中的元素为4的倍数……………… 14分