Question

已知函数定义在区间上，，且当时，恒有．又数列满足．

（Ⅰ）证明：在上是奇函数；

（Ⅱ）求的表达式；

（III）设为数列的前项和，若对恒成立，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（III）m的最小值为7

【解析】本试题主要是考查了函数与数列的知识点的交汇处的运用。

（1）运用赋值法，令x=y=0时，则由已知有，

可解得f (0)=0．

再令x=0，y∈(-1，1)，则有，即，

∴  f (x)是(-1，1)上的奇函数

（2）令x=an，y= -an，于是，

由已知得2f (an)=f (an+1)，

∴ ，

从而得到 数列{f(an)}是以f(a1)=为首项，2为公比的等比数列．

∴ 

（3）由(II)得f(an+1)=-2n，于.

然后求解和式，得到结论。

【解析】
（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有，

可解得f (0)=0．

再令x=0，y∈(-1，1)，则有，即，

∴  f (x)是(-1，1)上的奇函数．                                            4分

（Ⅱ）令x=an，y= -an，于是，

由已知得2f (an)=f (an+1)，

∴ ，

∴ 数列{f(an)}是以f(a1)=为首项，2为公比的等比数列．

∴                                                8分

（III）由(II)得f(an+1)=-2n，于.

∴ Tn= b1+ b2+ b3+…+ bn

，

.

∴ .             9分

令

于是，

∴ .

∴ k(n+1)