Question

已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出 的最大值。

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）时，取得最大值

【解析】本试题主要是考查了关系式的递推运用，以及数列单调性的综合运用。

（1）因为，对与n赋值，然后可知结论。

（2）设，数列的前项和为，分析通项公式的特点可知，数列为等差数列，然后分情况讨论得到和式。

【解析】

（Ⅰ）取，得                 ①    

取，得                              ②

由②①，得                             ③

（1）若，由①知

（2）若，由③知                         ④

由①、④解得，；或

综上可得，；或；或                        ……………………………5分

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知

当时，有，

所以，即，

所以

令，则

所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而

当时，，

故时，取得最大值，且的最大值为

………………………….12分