Question

（本小题满分12分）

如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.

(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)若PC与AD所成角为45°，求几何体P－ABCD的体积．

Answer

 (1)见解析；(2) V＝×(2×2)×2＝

【解析】证明面面垂直利用面面垂直的判定定理，先证明线面垂直，在空间几何体的证明中，注意线线，线面，面面之间的相互转化；第二问求体积先需要根据条件求出BC的长度，然后就可以求出体积。

【解析】
(1)当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，

∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.

(2)若PC与AD成45°角，∵AD∥BC，∴∠PCB＝45°.

∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴BC⊥PB，

∴∠CPB＝90°－45°＝45°，∴BC＝PB＝2，

∴几何体P－ABCD的体积V＝×(2×2)×2＝