Question

（本小题满分12分）

在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做每一道题的概率均为.

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望. 的解析

Answer

（1）=.

（2）变量的分布列为：

0

1

2

3

4

（或）

【解析】本题考查对立事件、相互独立事件、互斥事件的概率的计算及分布列的运用.（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题” ，其中甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“”，且A、B相互独立，利用独立事件和互斥事件的概率计算公式计算即可.

（2）先确定随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,根据条件知服从二项分布，所以～,然后易求其概率，列出分布列，根据期望公式求出期望值.

（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立.

∴=.

（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.

∴

∴变量的分布列为：

0

1

2

3

4

（或）