Question

（本小题满分13分）

已知数列｛｝中，对一切，点在直线y=x上，

(Ⅰ)令，求证数列是等比数列，并求通项（4分）；

(Ⅱ)求数列的通项公式（4分）；

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在常数，使得数列 为等差数列？若存在，试求出  若不存在,则说明理由（5分）.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

（Ⅲ）当且仅当时，数列是等差数列  .

【解析】(I) 利用等比数列的定义,

从而证明是等比数列,其通项公式为.

(II)在（I）的基础上可求出然后再采用叠加求通项的方法求an.

(III)可以先利用成等差数列求出=2，然后再利用等差数列的定义证明当=2时，为等差数列即可.

（Ⅰ）由已知得        

又    

是以为首项，以为公比的等比数列 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

将以上各式相加得：

（Ⅲ）解法一：存在，使数列是等差数列 

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列 

解法二： 存在，使数列是等差数列 

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列  .