Question

（本小题满分14分）

已知函数　（为实常数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；

（Ⅲ）已知且，求证: .

Answer

(I) 在时递增；在时递减.

（II）的取值范围是.  

（Ⅲ）

【解析】(I)当a=1时，,然后求导利用导数大（小）于零，分别求其单调递（减）区间即可.S

(II)本小题的实质是在(0,2)上恒成立或在(0,2)上恒成立.然后根据讨论参数a的值求解即可.

（III）由（Ⅱ）知，当时，在处取得最大值.

即.这是解决本小题的关键点，然后再令，则再进一步变形即可，从而得到

然后再根据可利用进行放缩证明出结论.

(I)当时，，其定义域为；

，

令，并结合定义域知； 令，并结合定义域知；

故在时递增；在时递减.

（II）,

①当时，，在上递减，无极值；

②当时，在上递增，在上递减，故在处取得极大值.要使在区间上无极值，则.

综上所述，的取值范围是.   ………………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在处取得最大值.

即.

令，则，即 ，