Question

已知定义域为的函数对任意实数满足：，且不是常值函数，常数使，给出下列结论：①；②是奇函数；③是周期函数且一个周期为；④在内为单调函数。其中正确命题的序号是___________。

Answer

.③

【解析】【解析】
根据题意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，

令y=0可得，2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函数，即f（x）=0不恒成立，则f（0）=1，

依次分析4个命题可得：

对于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=

，可得f（t）+f（0）=

结合f（0）=1，f（t）=0，可得，则可得，故①错误，

对于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函数，故②错误，

对于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，

即f（x+t）=-f（x-t），则f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），则f（x）是周期函数且一个周期为4t，③正确，

对于④、根据题意，无法判断f（x）的单调性，则④错误；

故答案为③．