Question

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．

（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

【解析】
（法一）（Ⅰ）平面平面， ．……1分

又，

平面

而平面

．………………3分

是圆的直径，．

又，

．

平面，，

平面．

与都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理证得）．…………………5分

，     平面．

而平面，

．  …………………………6分

（Ⅱ）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

为平面与平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．………………11分

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………12分

（法二）（Ⅰ）同法一，得．……………3分

如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（Ⅱ）由（1）知．

设平面的法向量为，

由 得，

令得，，………………9分

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，……………11分

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．………………12分