Question

已知数列和满足：, 其中为实数，为正整数．

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；

（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）存在实数，的取值范围是

【解析】(1)假设存在一个实数，使是等比数列，由题意知，矛盾，所以不是等比数列.

(2)由题设条件知，故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.

(3)由题设条件得，由此入手能够推出存在实数，使得任意正整数n,都有 ,的取值范围为.

【解析】
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，

则有,

即矛盾．

所以｛｝不是等比数列．   ………………………4分

（Ⅱ）因为

又，所以

当，，此时

当时，， ，

此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．

∴   ……………………8分

（Ⅲ）要使对任意正整数成立，

即

当为正奇数时，

∴的最大值为, 的最小值为,

于是，由（1）式得

当时，由，不存在实数满足题目要求；

当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是…………………………12分